Hữu Thỉnh: Phạt mảnh bờ con cua mất quê/ Rau đay làm lẽ buổi anh về
   

Bổ đề cơ bản là gì và ý nghĩa phát minh của Ngô Bảo Châu?
Cập nhật: 10:26:00 5/9/2010
Hiện nay, việc Ngô Bảo Châu đã chứng minh thành công Bổ đề Langlangds đã được cả thế giới biết đển; song nhiều người nhất là những người ngoại đạo về Toán học chỉ biết đó là một phát minh, còn cụ thể phát minh này như thế nào, giá trị cũng như đóng góp hữu ích của nó cho Toán học, cho đời sống đến đâu thì các phương tiện truyền thông còn đưa tin chung chung, mơ hồ...chưa thật cụ thể, căn kẽ để người đọc bình thường có thể hiểu và hình dung được. Bởi đây là vấn đề đòi hỏi người giải thích và người tiếp nhận phải có được những kiến thức cơ bản về lĩnh vực chuyên môn sâu mới có thể lĩnh hội được...

 

Phạm Viết Đào

 

Rất mong các chuyên gia toán học sớm cho công bố, phân tích để những người bình thường có thể hiểu được những nét sơ đẳng, phổ thông nhất, hiểu được công trạng và giá trị của phát minh của Ngô Bảo Châu…

Sau đây là một số thu lượm từ trên mạng của chúng tôi về phát minh khám phá mang tầm thế kỷ này của Ngô Bảo Châu và một vài diễn giải nôm na qua những thu lượm theo kiểu “ nghe hơi nồi chõ “ về Bổ đề:

Ý NGHĨA CỦA VIỆC PHÁT MINH CỦA NGÔ BẢO CHÂU

-Tạp chí Time ( Mỹ ) xếp công trình khoa học của Ngô Bảo Châu vào nhóm 10 khám phá khoa học nổi bật trên thế giới trong năm 2009, bên cạnh các khám phá lớn khác như : Tìm thấy người Ardi, tổ tiên cổ nhất của loài người sống cách đây 4,4 triệu năm; lập bản đồ gen người; tìm thấy nước trên mặt trăng; Máy gia tốc Hadron lớn ở Giơneva ( Thụy Sĩ ) ( 1 )
-Ngô Bảo Châu đã làm được việc chính Langlands cũng thất bại...
Để hiểu được ý nghĩa của thành công trên, ta hãy quay về với quá trình chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat, hay còn gọi là Định lý lớn Fermat. Định lý này được Pierre de Fermat, nhà toán học Pháp kiệt xuất, nêu lên vào thế kỷ 17, nhưng không để lại chứng minh! Và, vì thế, nó đã trở thành một thách đố làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại trong hơn ba thế kỷ! Thoạt nhìn, định lý thật giản đơn: Phương trình xn + yn = zn không có nghiệm nguyên dương khi n > 2.

Định lý lớn Fermat khiến ta nhớ tới một định lý đã được Pythagore, nhà toán học Hy Lạp cổ đại, chứng minh vào thế kỷ 6 trước Công nguyên, thường gọi là Định lý Pythagore: x2 + y2 = z2 (nếu trong một tam giác vuông ta coi cạnh huyền là z, các cạnh góc vuông là x và y).

Thế nhưng, hơn ba thế kỷ trôi qua, không ai chứng minh được Định lý lớn Fermat!

Giữa thế kỷ 20, hai nhà toán học Nhật Bản Yukata Taniyama và Goro Shimura đưa ra phỏng đoán thiên tài (về sau gọi là Giả thiết Taniyama - Shimura) rằng mỗi phương trình eliptic đều có liên hệ với một dạng modular. Nếu giả thuyết này đúng, thì nó sẽ tạo điều kiện để giải quyết nhiều bài toán eliptic cho đến nay chưa giải quyết được, bằng cách tiếp cận chúng qua thế giới modular. Và, như vậy, hai thế giới eliptic và modular vốn tách biệt nhau, sẽ có thể thống nhất.

Trong những năm 1960, R. Langlands và những người cộng tác tại Đại học Princeton (Mỹ) đưa ra một loạt giả thiết về những mối liên hệ giữa nhiều ngành toán học vốn rất khác nhau, và kêu gọi giới toán học quốc tế hợp tác chứng minh những giả thiết cấu thành Chương trình Langlands.

Nếu những giả thiết mang màu sắc tư biện ấy, vào một ngày đẹp trời nào đó, được chứng minh, thì sẽ mang lại những kết quả vô cùng to lớn cho toán học. Khi ấy, bất cứ một bài toán chưa giải được trong một lĩnh vực nào đều có thể biến đổi thành một bài toán tương tự trong một lĩnh vực khác, và các nhà toán học có thể huy động cả một kho to lớn những kỹ thuật mới để giải nó.

Thuật ngữ bổ đề (lemma) thường dùng để chỉ một cái gì đó dễ chứng minh, một kết quả kỹ thuật giản đơn cần thiết trên con đường chứng minh một định lý đích thực. Thế nhưng, trong trường hợp này, cụm từ bổ đề cơ bản (fundamental lemma) lại gắn liền với một giả thiết quyết định, một bộ phận không thể tách rời của Chương trình Langlands, một “bổ đề” khó chứng minh đến mức mà 30 năm qua nhiều nhà toán học hàng đầu - kể cả cá nhân Langlands - đã ra sức lao vào giải quyết nhưng đều thất bại! ( 2 )


-Công trình mà Ngô Bảo Châu cùng giành giải với thầy của mình, có thể tóm tắt như sau: Vào năm 1987, Langlands cùng một đồng nghiệp khác là Shelstad đã dự đoán sự tồn tại của một tương tự tương ứng Langlands cho trường phức. Bây giờ người ta gọi nó là "Tương ứng Langlands hình học".
Để chứng minh được sự tồn tại của nó, cần phải thiết lập một họ đẳng thức mà Langlands và Shelstad phỏng đoán là đúng và diễn đạt dưới dạng một bổ đề. Thông thường trong toán học, bổ đề là một mệnh đề phụ trợ cho một mệnh đề chính và thường là dễ chứng minh. Trong trường hợp này, tuy rằng mục đích chính của bổ đề vừa nêu là để thiết lập tương ứng Langlands hình học, nhưng bản thân nó là bài toán lớn. Để tôn trọng lịch sử, người ta khiêm tốn gọi nó là "Bổ đề cơ bản" (của Langlands). Gần hai mươi năm qua, bao nhiêu nhà toán học đầu ngành lao vào chứng minh nó và vinh quang đã thuộc về thầy trò Ngô Bảo Châu khi họ giải quyết được bài toán cho một trường hợp khá rộng là các nhóm unita. (3)

Câu chuyện bắt đầu như thế này. Cách đây rất lâu các nhà toán học đã công bố hai lý thuyết quan trọng: lý thuyết số học và lý thuyết nhóm (number theory, group theory). Bản chất của hai lý thuyết đó tôi sẽ để cho bác “Wiki” giải thích – điều nên nhớ là (a) hai lý thuyết ấy rất quan trọng trong thế giới toán học và (b) hai lý thuyết ấy từ xa nhìn riêng biệt với nhau, như hai cành của một thân cây.

Cách đây khoảng 30 năm, một nhà toán học Canada tên Robert Langlands đã công bố rằng ông ấy nghĩ hai lý thuyết ấy có sự liên quan rất đa dạng. Quan điểm của Robert (và cách thể hiện quan điểm đó) đã làm cho nhiều nhà toán học thực sự choáng! Robert cũng tự làm choáng mình nữa – ông phát biểu rằng sẽ mất mấy thế hệ để chứng minh sự liên quan đa dạng mà ông ấy cho rằng có tồn tại.
“Nhưng bước đầu tiên sẽ tương đối dễ thực hiện”, ông Robert tự tin nói với đồng nghiệp. “Bước đầu tiên” đó Robert đặt tên là "fundamental lemma”, và đó chính là “Bổ đề cơ bản” mà các bạn nghe kể nhiều thời gian gần đây.
Ông Robert tựa như đang đứng trên đảo nhỏ. Nhìn về phía Đông là một con tàu lớn. Nhìn về phía Tây cũng là một con tàu lớn. (Hai tàu không có người lái, trôi trên mặt biển.) Robert không nhìn kỹ được nhưng vẫn cho rằng hai con tàu đó có nhiều điểm chung. Có khi sản xuất cùng loại thép. Có khi chân vịt cùng cỡ. Có khi bánh lái của “tàu Đông” hướng về phía tay phải thì bánh lái của “tàu Tây” sẽ tự động hướng về phía tay trái.
Khỏi phải nói hai con tàu đó là lý thuyết số học và lý thuyết nhóm.

Với Robert, việc chứng minh “bổ đề cơ bản” có thể so sánh với việc ném hai sợi dây có móc sang hai tàu. Khi việc đó làm xong, các nhà toán học khỏe mạnh có thể đứng trên đảo cùng Robert, dùng dây kéo hai tàu gần nhau. (Khi đó mới nhìn kỹ được, tìm ra sự liên quan.) Việc kéo hai con tàu gần nhau và so sánh là việc Robert nghĩ sẽ mất mấy thế hệ. Nhưng việc ném hai sợi dây có móc đó ông Robert nghĩ sẽ nhanh thôi.

Nhưng ông Robert đã nhầm. Việc ném dây khó lắm. Robert cùng một số em sinh viên đã ném thử mấy lần nhưng lần nào cũng thất bại. Họ chỉ biết ném gần (không chính xác được) và dùng dây loại mỏng. Đảo của Robert trở thành đảo nổi tiếng. Suốt 30 năm có rất nhiều nhà toán học sang “ném thử” Ai cũng lau mồ hôi và kêu lên “khó quá!” Nhiều nhà toán học trên đất liền chuẩn bị công cụ dùng để kiểm tra và so sánh hai con tàu lúc được kéo về đảo (kéo gần nhau!). Họ sản xuất máy để kiểm tra loại sơn, lập trình phần mềm để phân tích hai chân vịt. Thậm chí có người tập lái tàu và tập cách đứng trên boong tàu để không bị say sóng. Những công việc và sự tập luyện đó sẽ thành vô nghĩa nếu không có người ném dây chính xác.

Và rồi xuất hiện anh Ngô Bảo Châu. Nghe kể về đảo của Robert, anh bơi sang xin ném thử. “Được chứ!”, các nhà toán học giỏi nhất thế giới động viên. “Anh cứ thử thoải mái đi, thử mấy lần cũng được, thử xong ngồi cùng chúng tôi uống trà đá nhé!”

Anh Châu ném thử một lần, ném rất mạnh, dùng loại dây nặng nhất. Các nhà toán học kia đứng lên ngạc nhiên, nhiều cốc trà đá rơi xuống đất. Cách ném của anh Châu rất lạ; anh dùng kỹ thuật đặc biệt mà chưa ai thấy bao giờ. “Ném thật đi anh ơi!”, các nhà toán học động viên tiếp. “Biết đâu anh sẽ là nhà toán học đầu tiên bắt tàu hai tay!”

Ngô Bảo Châu ném thật. Và chính xác. Hai cái móc dính vào hai con tàu ngay, mọi người vỗ tay ầm ĩ. Rồi anh Châu bảo các nhà toán học đứng trên đảo Robert cầm dây giúp (và bắt đầu kéo hai tàu gần nhau), để anh ấy có thể đi sang Ấn Độ nhận giải thưởng Fields.

Câu chuyện kết thúc tại đây. ( 4 )

- Trong toán học, bổ đề là một giả thiết đã được chứng minh hoặc chắc chắn sẽ được chứng minh dùng làm nền tảng để từ đó các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu và đạt tới một kết quả cao hơn. Về bản chất, hầu như không có phân biệt chính thức giữa bổ đề và định lý ngoài mặt tác dụng và quy ước.

Còn Chương trình Langlands là tập hợp nhiều giả thiết do nhà toán học người Canada Robert Langlands đề xuất vào năm 1967 nhằm thống nhất một số nhánh của toán học hiện đại như số học, đại số và giải tích. Từ đó đến nay, nhiều giả thiết trong đó đã được chứng minh, mang lại những kết quả cực kỳ quan trọng không những trong toán học mà cả nhiều ngành khác.

Tuy nhiên, tất cả lời giải cho các giả thiết trong Chương trình Langlands đều dựa trên một giả thiết nền tảng, khi đó chưa được chứng minh nhưng mặc nhiên được xem là đúng và sử dụng. Giả thiết này chính là Bổ đề cơ bản (BĐCB). Nhiều nhà toán học hàng đầu đã bỏ công sức chứng minh BĐCB nhưng chỉ mới thành công trong một số trường hợp đặc biệt. Và GS Ngô Bảo Châu là người đã chứng minh được bổ đề này trong trường hợp tổng quát, làm sáng rõ những nghi vấn lâu nay, tạo niềm tin mới cho nghiên cứu toán học và nhiều ngành khoa học khác.

Xin mượn lời GS Châu trong một cuộc phỏng vấn với Báo Thanh Niên trước đây nói về BĐCB và Chương trình Langlands:

“Các giả thiết Langlands là động lực cho sự phát triển của toán học lý thuyết trong vòng bốn chục năm trở lại đây. Rất nhiều bài toán tưởng như là những viên gạch riêng lẻ, nay được các giả thiết của Langlands sắp xếp lại thành một công trình kiến trúc vĩ đại. Cá nhân tôi xếp ngang hàng các giả thiết của Langlands với hình học phẳng của Euclid hay phát minh ra nhóm Galois trong việc giải phương trình đại số...

BĐCB là một bổ đề vì bản thân nó chỉ là một bài toán có tính kỹ thuật. Nhưng nó cũng không hẳn là bổ đề vì ông Langlands chỉ chứng minh nó trong một trường hợp đặc biệt còn trường hợp tổng quát thì được nêu như một giả thiết. Còn cơ bản là vì cả một góc lớn của công trình kiến trúc kể trên sẽ sụp đổ nếu BĐCB không đúng. Ngoài ra, chứng minh BĐCB được nhiều người quan tâm vì ý tưởng của nó không gói gọn trong chương trình Langlands mà lại có dây mơ rễ má đến một số vấn đề của vật lý lý thuyết”. ( 5 )

MỘT VÀI DIỄN GIẢI VỀ BỔ CƠ BẢN CỦA GS LÊ BẢO CHÂU:

Việc chng minh thành công Bổ đề Langlangds của Ngô Bảo Châu được đánh giá là một cuộc cách mạng trong toán học ở các khía cạnh sau đây:
1.Kết nối được mối quan hệ giữa các chuyên ngành tưởng như độc lập của toán học là số học, đại số, hình học và giải tích.Đó là 4 chuyên ngành từ khi ra đời đến nay gần như độc lâp và tách bạch nhau.
2.Bản thân số học, hình học, đại số và giải tích khi chưa được kết nối đã là công cụ tính toán mang lại rất nhiều hữu ích cho loài người. Sau khi được kết nối, tính hữu ích được nhân lên gấp bội, đặc biệt đối với các dạng bài toán kỹ thuật, ví dụ:
- Muốn tính được quĩ đạo của các con tàu vũ trụ bay vào không gian người ta phải dùng đến thuật toán mô phỏng trong đó giải tích là công cụ chủ yếu.

Trong giải tích, chuỗi Fourie và Laplace được sử dụng với các phép tính lập lên đến hàng ngàn, hàng vạn lần. Việc sử dụng số lần mô phỏng càng nhiều càng tốt kéo theo sự đòi hỏi phải có máy tính với tốc độ xử lý siêu tốc.

Quĩ đạo kỳ vọng của con tàu vũ trụ nếu chỉ dựa vào mức độ hội tụ của chuỗi Fourie hay Laplace không thôi sẽ là đơn trị. Trong trường hợp chuỗi Fourie hay Laplace không hội tụ thì xem như bó tay.

Hình học, số học và đại số cùng lúc hỗ trợ cho phép tính mô phỏng bằng giải tích có thể kiểm chứng được trong mọi tình huống mô phỏng.

3.Với kết quả phát minh nói trên, người ta ví số học, hình học, đại số và giải tích như là những bánh xe tách rời nhau. Việc chứng minh thành công bổ đề Langlands của Ngô Bảo Châu giống như việc anh đã tìm ra được cách kết nối 4 bánh xe độc lập để lắp vào cho cỗ xe Toán học, giúp nó hợp lực để đưa xe lao về phía trước. Sự hợp lực này sẽ giúp tăng tốc các ứng dụng của toán học vào đời sống…

P.V.Đ

Chú thích:

1/ Văn Nghệ số 35-36
2/Theo Hàm Châu Khoa học & Đời Sống Online
3/http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:GOS2VUjVpu0J:www1.laodong.com.vn/pls/bld/display%24.htnoidung%2839,116708%29+%22B%E1%BB%95+%C4%91%E1%BB%81+c%C6%A1+b%E1%BA%A3n+c%E1%BB%A7a+langlands+%22&cd=80&hl=vi&ct=clnk&gl=vn
4/http://www.mathvn.com/2010/08/bo-e-co-ban-langlands-duoi-con-mat-cua.html

5/http://www.thanhnien.com.vn/News/Pages/201034/20100816232212.aspx
6/http://www.yahoovanhoaviet.com/news/index.php?act=view&code=post&pid=4&cid=33&id=44570


1
2
Tin mới